以汽水问题为例，向程序员致敬，并缅怀自己的编程岁月。以下的所有函数，都是数学表达式，不是编码实现。
简单
首先从最简单的场景出发，看看汽水问题的思路。现有问题描述如下：
规则：喝汽水，1瓶汽水1元，集齐2个空瓶才能换一瓶汽水。
前提：现在有20元
问题：到底可以喝多少瓶汽水
一般来说，第一反应肯定是基于前提，按照规则去拆解问题。思路如下：
20元，获得20瓶汽水。喝掉20瓶，剩下20个空瓶
20个空瓶，可换10瓶汽水。喝掉10瓶，剩下10个空瓶
10个空瓶，可换5瓶汽水。喝掉5瓶，剩下5个空瓶
4个空瓶，可换2瓶汽水。喝掉2瓶，得到3个空瓶（5个空瓶中4个去换汽水，剩下1）
2个空瓶，可换1瓶汽水。喝掉1瓶，得到2个空瓶
2个空瓶，可换1瓶汽水。喝掉1瓶，得到1个空瓶
最终是20+10+5+2+1+1=39瓶，且剩下一个空瓶
整体来说就是分解问题，然后逐个穷举：
用钱能买到多少瓶汽水，喝掉产生空瓶，这是直接运算能得到的。
空瓶基于规则换汽水，喝掉再产生空瓶，循环穷举计算
在现有场景下，很多人认为是可行的思路。甚至部分业务程序员，直接就这么编码，导致后期出现性能问题。20元需要1次计算和5次内部循环，下面我们来看看钱多一点的的场景
普通
普通场景的规则是一致的，但是钱多了很多。问题描述如下：
规则：喝汽水，1瓶汽水1元，集齐2个空瓶才能换一瓶汽水。
前提：现在有2111元
问题：到底可以喝多少瓶汽水
2110转换成2进制，是100000111110。那么按照上面的方法，至少需要1次计算和11次循环（11次位移）。忽略其他的因素，耗时几乎翻倍。即便这个情况能解决，那么百万元呢？
此时应该尝试去寻找规律，思路如下（我的高中数学老师应该会很开心）：
利用数学理想，等价于寻找数字的规律（喝汽水瓶数）
列举出足够多的数字
尝试寻找规律
举例验证规律
这个场景中非常的简单，数列如下：
1、3、5、7、9…
通过数学归纳法，得到规律是2n-1。
然后试试前面的20元，刚好是39。再试试13，也是25。
即，n元能喝汽水瓶数：
f(n) = 2n-1（n>0）
从算法维度来衡量，这个时间复杂程度就是O(1)，钱的大小不影响。
中等
问题描述如下：
规则：喝汽水，1瓶汽水6元，3个空瓶换一瓶汽水。
前提：已知24元，可以喝6瓶汽水
问题：为何可以喝6瓶？假设有x元，可以喝y瓶汽水？
这个其实分为两个问题，第一个问题是第二个问题的先决条件。
先按照分解问题穷举的思路，发现24元可买4瓶，喝4瓶->换1瓶并喝掉，剩下2空瓶。此时只有向老板借一瓶汽水，喝完有三个空瓶。将三个空瓶给老板，视为还一瓶汽水。所以，可以喝6瓶。
第一个问题，让我们知道可以借瓶子。再延伸一下，就是空瓶是有价值的。
利用等价转换法分析，可知道一份汽水的价值为4元，一个空瓶价值1元。
所以，y = └x/4┘（x除以4的结果，向下取整）
这里只讨论逻辑，上面的结论实际情况下是很可笑的。假如我刚好有4元，如下操作后可用可以喝到一瓶汽水：
4元向老板买两个空瓶
再向老板借一瓶汽水喝掉，得到1个空瓶
3个空瓶给老板，兑换汽水，还给老板
困难
问题描述如下：
规则：喝汽水，x元一瓶，现有促销搞活动：新批次的汽水，y个空瓶可以换一瓶汽水(x、y>=1)。
前提：汽水价格不因促销而有所变动，针对空瓶换的汽水，品牌商会对店老板进行补贴
问题：店老板进货z瓶，品牌商实际应该给几瓶（补贴损失）（Z>y）
这个其实就是困难情况的一般化，继续使用等价转换法：
一份汽水实际价值 = x – x/y
实际进货汽水总数 f(z) = └ z * x / (x-x/y) ┘
汽水实际价格是原有价格的倍数（x / (x-x/y)），对应的进货量也要乘以对应的倍数。
极难
前面，价格都是比较好算的1元，改为3元。问题描述如下：
规则：喝汽水，1瓶汽水3元，集齐3个空瓶才能换一瓶汽水。
前提：现在有n元
问题：到底可以喝多少瓶汽水
和前面类似，先列举出足够多的数据：
如何寻找数字的规律，我认为数学的范畴。反正既然价格是3，就用3倍数进行表示，寻找规律。
一般前面的数字，规律比较难找。以9为分界线（3*3=9,9以后才会出现空瓶换汽水），分段标出。所以规律总结，数学表达如下：
数字分为奇数和偶数，应该可以继续优化，尝试用2的倍数来表达9以后的值：
由于习惯，使用2n-1方式表达奇数。如果用前面的方法，规律不太明显。考虑到是为了从奇偶性角度简化计算，直接从n出发，转换为结果：
地狱
问题描述如下：
规则：喝汽水，x元一瓶，y个空瓶可以换一瓶汽水(x、y>=1)。
前提：现有n元（n>=x）
问题：如果可以借汽水，可以喝多少瓶汽水？如果不能，可以喝多少瓶？
可以借汽水，就很简单了：
一份汽水 = x – x/y
可以喝汽水总数 f(n) = └ n/(x-x/y) ┘(向下取整)
不能借汽水，就无法使用等价转换。参考上一个场景，规律如下：
